막대기 Batch 컴파일 명령

다양한 길이의 막대기를 가지고 즐길 수 있는 게임이 있다. 게임을 시작하기 전에 간격이 $L$인 두 개의 평행한 수평선을 책상 위에 긋고, 막대기의 양 끝이 각 수평선에 하나씩 위치하도록 놓는다. 여러 개의 막대기 끝이 수평선 위의 한 점에서 만날 수는 있지만, 두 막대기가 완전히 겹쳐져 있는 경우는 없다. 놓여 있는 각 막대기는 $(t, d)$로 표현된다. 여기서 $t$는 위쪽 수평선에서의 좌표이고 $d$는 아래쪽 수평선에서의 좌표이다. 아래 그림 1에서 막대기 a는 $(1, 0)$, 막대기 b는 $(6, 0)$으로 표시된다.

게임은 책상에 놓여 있는 막대기들 중 일부를 들어내어 남아 있는 막대기들이 다음의 세 조건을 모두 만족하는 하나의 지그재그 선이 구성되도록 하는 것이다: (1) 막대기들은 끝점을 제외하곤 서로 교차하지 않는다. (2) 세 개 이상의 막대기 끝이 한 점에서 만나지 않는다. (3) 모든 막대기는 연결되어 있다.

이 게임의 승자는 길이가 가장 긴 지그재그 선을 만든 사람이다. 지그재그 선의 길이는 막대기 길이들의 합이며, 각 막대기의 길이는 양 끝점의 수평 거리와 수직 거리를 더한 값으로 계산한다. 즉, 막대기 $(t, d)$의 수평 거리는 $t$와 $d$ 사이의 절대값 $|t-d|$이고, 수직 거리는 두 수평선 사이의 간격인 $L$이다. 위 그림에서 각 막대기의 길이는 다음과 같다.

예를 들면, 그림 1에서 막대기 a, b, e 만 남겨진 경우는 세 조건을 모두 만족하는 지그재그 선이 며, 길이는 17 = 4+9+4 이다. 막대기 c, e 만 남겨진 경우도 세 조건을 모두 만족하는 지그재그 선이며, 길이는 10 = 6+4 이다. 막대기 b, c 만 남겨진 경우는 조건 (1)에 위배되고, 막대기 c, d, e 만 남겨진 경우는 조건 (2)에 위배되고, 막대기 a, b, g 만 남겨진 경우는 조건 (3)에 위배된다. 길이가 가장 긴 지그재그 선은 막대기 c, d, f, g로 구성되며, 길이는 20 = 6+4+7+3 이다.

막대기들의 초기 상태가 주어져 있을 때, 가장 긴 지그재그 선의 길이를 구하기 위한 프로그램을 작성하시오.

입력 형식

첫 줄에는 막대기의 개수와 수평선 사이의 간격을 나타내는 두 개의 정수 $N$과 $L$이 주어진다. 여기서 $N$은 1 이상 100,000 이하이고, $L$은 1 이상 1,000,000 이하이다. 그 다음 $N$ 개의 줄에는 각 줄마다 막대기 $(t, d)$를 나타내는 두 개의 정수 $t$와 $d$가 빈칸을 사이에 두고 주어진다. 여기서 $t$와 $d$는 각각 0 이상 100,000,000 이하이다. 입력으로 들어오는 막대기들 중 어떤 두 막대기도 완전히 겹쳐져 있는 경우는 없다.

출력 형식

주어진 입력에 대해 길이가 가장 긴 지그재그 선의 길이를 한 줄에 출력한다.

유의 사항

중간 계산 결과와 출력할 값이 32비트 정수형 범위를 벗어날 수 있으니 64비트 정수형을 이용할 것을 권장한다.

부분문제의 제약 조건

• 부분문제 1: 전체 점수 100점 중 11점에 해당하는 데이터에 대해 $N \le 20$이다.
• 부분문제 2: 전체 점수 100점 중 13점에 해당하는 데이터에 대해 $N \le 100,000$이고 막대기 끝점의 좌표는 $1,000$ 이하이다.
• 부분문제 3: 전체 점수 100점 중 16점에 해당하는 데이터에 대해 $N \le 100$이다.
• 부분문제 4: 전체 점수 100점 중 22점에 해당하는 데이터에 대해 $N \le 1000$이다.
• 부분문제 5: 전체 점수 100점 중 38점에 해당하는 데이터에 대해 추가적인 제약 조건은 없다.

입력과 출력의 예