문제 보기 - 즐거운 행로 (APIO20_fun)

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설명

자카르타의 제일 큰 놀이동산에는 $N$ 가지 놀이기구가 있는데, $0$부터 $N - 1$까지 번호가 매겨져 있다. 이 탈 것들은 $N - 1$개의 양방향 도로로 연결되어 있어서, 어떤 두 놀이기구를 골라도 이 둘을 잇는 유일한 경로가 존재한다. 이 도로는 $0$부터 $N - 2$까지 번호가 매겨져 있다. $i$번 도로는 놀이기구 $A[i]$와 놀이기구 $B[i]$를 연결하고 걸어서 이동하는데 한 시간이 걸린다. 혼잡을 막기 위해서, 모든 놀이기구는 최대 3개의 도로와 연결되어 있다.  

모든 놀이기구를 정확하게 한 번 방문하는 행로(tour)를 만들려고 한다. 한 놀이기구에서 다른 놀이기구로 이동할 때 여러 도로를 지나가는 것은 지루하다. 즐거운 행로를 만들려면, 모든 놀이기구에 대해서 순서 관계를 정해서, 다음 놀이기구를 방문하는데 필요한 시간이 직전 놀이기구를 방문하는데 필요한 시간보다 길지 않게 하고 싶다. 다른 말로 하면, $0$부터 $N - 1$까지 모든 정수가 정확하게 한 번씩 나오는 순열 $P[0], P[1], \ldots, P[N-1]$을 찾으려 하는데, 모든 $0 \lt i \lt N - 1$에 대해서 놀이기구 $P[i]$에서 놀이기구 $P[i+1]$로 이동하는데 걸리는 시간이 놀이기구 $P[i-1]$에서 놀이기구 $P[i]$로 이동하는데 걸리는 시간보다 길지 않다.

당신은 놀이기구의 전체 지도를 가지고 있지 않다. 따라서, 즐거운 행로를 만들려면 안내센터에 질문을 여러번 해야 한다. 최대 $Q$번 질문할 수 있고, 각각의 질문은 두 파라미터 $X$와 $Y$로 이루어지는데, $0 \le X, Y \lt N$이다. 각 질문은 다음 둘 중 하나이다.  

  • 놀이기구 $X$에서 놀이기구 $Y$로 이동하는데 몇 시간 걸리는가? 특히 $X = Y$일 때, 답은 $0$이다.
  • 놀이기구 $X$와 놀이기구 $Y$가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족하는 놀이기구 $Z$가 몇 개 있는가? 놀이기구 $X$에서 놀이기구 $Z$로 이동하려면 놀이기구 $Y$를 반드시 방문해야 한다. 놀이기구 $Y$도 포함된다. 특히 $X = Y$일 때, 답은 $N$이다.

 

할 일 

다음 createFunTour 함수를 구현해야 한다.  

  • createFunTour(N, Q) - 이 함수는 그레이더에 의해서 정확하게 한 번 호출된다.  
    • $N$: 놀이기구의 수를 나타내는 정수.  
    • $Q$: 질문의 최대 횟수를 나타내는 정수.  
    • 이 함수는 다음 두 그레이더 함수를 호출할 수 있다.  
      • hoursRequired(X, Y)
        • $X$: 첫번째 놀이기구를 표현하는 정수. 
        • $Y$: 두번째 놀이기구를 표현하는 정수.
        • 이 함수는 놀이기구 $X$에서 놀이기구 $Y$로 이동하는데 필요한 시간을 리턴한다. 
        • 만약 $X$, $Y$ 중 어느 하나, 또는 둘 모두가 $0$ 이상 $N - 1$ 이하인 정수가 아니라면, WA를 받는다.  
      • attractionsBehind(X, Y)
        • $X$: 첫번째 놀이기구를 표현하는 정수.
        • $Y$: 두번째 놀이기구를 표현하는 정수.
        • 이 함수는 다음 조건을 만족하는 놀이기구 $Z$의 개수를 리턴하는데, 놀이기구 $X$에서 놀이기구 $Z$로 이동하려면 놀이기구 $Y$를 반드시 방문해야 한다.  
        • 만약 $X$, $Y$ 중 어느 하나, 또는 둘 모두가 $0$ 이상 $N - 1$ 이하인 정수가 아니라면, WA를 받는다.
    • 이 함수는 즐거운 행로를 표현하는 $N$개의 정수의 순열을 저장한 배열을 리턴해야 한다. 

예제 

다음 예제에서, $N = 7$, $Q = 400\,000$, $A = [0, 0, 0, 1, 1, 2]$, $B = [1, 5, 6, 2, 4, 3]$이다. 이 예제는 다음 그림으로 설명할 수 있다.  

그레이더는 createFunTour(7, 400000)를 호출한다.

  • 만약 여러분이 hoursRequired(3, 5)로 질의하면, 리턴값은 $4$이다.
  • 만약 여러분이 hoursRequired(5, 4)로 질의하면, 리턴값은 $3$이다.
  • 만약 여러분이 attractionsBehind(5, 1)로 질의하면, 리턴값은 $4$이다. 놀이기구 5에서 놀이기구 1, 2, 3, 4로 가려면 놀이기구 1을 반드시 지나가야 한다.  
  • 만약 여러분이 attractionsBehind(1, 5)로 질의하면, 리턴값은 $1$이다.
  • 여러분의 가능한 리턴값 중 하나는 $[3, 6, 4, 5, 2, 0, 1]$인데, 다음 놀이기구를 방문하는데 필요한 시간은 차례대로 $[4, 3, 3, 3, 2, 1]$이기 때문이다.  

제약 조건 

  • $2 \le N \le 100\,000$.
  • $Q = 400\,000$.
  • 어떤 두 놀이기구도 도로를 통해서 이동할 수 있다. 
  • 각 놀이기구는 최대 3개의 도로와 연결되어 있다. (즉, 최대 3개 도로의 끝점이다.)  

Subtask 1 (10 points)

  • $N \le 17$.

Subtask 2 (16 points)

  • $N \le 500$.

Subtask 3 (21 points)

  • 모든 $1 \le i \lt N$에 대해서 놀이기구 $i$와 놀이기구 $\left\lfloor\frac{i - 1}{2} \right\rfloor$를 연결하는 도로가 있다.  

Subtask 4 (19 points)

  • 모든 $0 \le i \lt N$에 대해서 hoursRequired(T, i) $\lt 30$를 만족하면서 다음 조건을 만족하는 구간 $[L[i], R[i]]$ ($0 \le L[i] \le i \le R[i] \lt N$)이 존재하는 놀이도구 $T$가 최소한 하나 존재한다.    
    • 놀이기구 $T$에서 놀이기구 $j$로 이동하려면 놀이기구 $i$를 방문해야 한다는 것과,  $L[i] \le j \le R[i]$라는 것은 필요충분조건이다.
    • 만약 $L[i] \lt i$이라면, 다음 조건을 만족하는 놀이기구 $X$가 정확히 하나 존재한다.  
      • $L[i] \le X \lt i$.
      • 놀이기구 $i$와 놀이기구 $X$를 연결하는 도로가 있다.  
    • 만약 $i \lt R[i]$이라면, 다음 조건을 만족하는 놀이기구 $Y$가 정확히 하나 존재한다.  
      • $i \lt Y \le R[i]$.
      • 놀이기구 $i$와 놀이기구 $Y$를 연결하는 도로가 있다.  

Subtask 5 (34 points)

  • 추가적인 제약 조건이 없다. 

 

샘플 그레이더

샘플 그레이더는 입력을 다음 양식으로 읽는다. 

 

N Q
A[0] B[0]
A[1] B[1]
.
.
.
A[N-2] B[N-2]

샘플 그레이더는 만약 createFunTour 함수가 즐거운 행로를 표현하는 $N$개의 정수의 순열을 저장한 배열을 정확히 구하고, hoursRequiredattractionsBehind 함수의 호출 횟수 합이 $Q$이하이면 이 배열을 출력한다. 그렇지 않으면, 오답 메시지를 출력한다.  

첨부

공개된 그레이더, 예제 케이스, 문제에 대한 기본 파일은 `fun.zip`에서 받을 수 있다. 

첨부 파일
파일명 파일 크기
fun.zip 12.8 KiB