Submission #1045420

#	Time	Username	Problem	Language	Result	Execution time	Memory
1045420		VectorLi	Balloons (CEOI11_bal)	C++17	100 / 100	109 ms	8532 KiB

bal

#include <bits/stdc++.h>
#define long long long

using namespace std;

/*
我们做这道题目的思路是怎么样的？

1. 首先，我们推出了，对于每个球，它的 r 到底由什么决定，这保证了
我们能拥有一个 n^2 的算法。

2. 其次，通过观察也好，一眼看出式子的性质也罢。我们发现，当
x(i) < x(j) 且 r(i) <= r(j) 的时候，i 就没有必要存在待考虑的元素集合里了，因为 j 一定比 i 优秀 
其实这一步，我们已经建出了一个单调栈，但是，我们不清楚单调栈里的什么元素是满足要求的，所以最坏
时间复杂度仍然是 n^2

3. 观察式子

r(i) <= (x(i) - x(j))^2 / (4 * r(j)) 这个式子并不具有单调性
因为从栈顶往栈底，x(j) 在减小，分子在变大；r(j) 在变大，分母也在变大。
所以不能说，此时什么什么就是答案。

但是这个时候，我们可以通过观察或看式子，发现 **决策单调性**

先说什么是决策单调性。

对于 k 位置，如果 k 位置选择了以 j 位置为限制，且 r(k) < r(j)，那么 r(k) 不可能会受到 i 的影响
i 为任意 [0, j) 

r(k) < r(j)

r(j) <= (x(j) - x(i))^2 / (4 * r(i))

又因为 x(k) > x(j)

所以有 r(k) < (x(k) - x(i))^2 / (4 * r(i))

我们只需要枚举到这个元素，更新这个元素之上的答案就可以了，其中，不要忘记剔除掉没有用的元素 

*/

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	
	int n;
	cin >> n;
	
	vector<double> x(n), r(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> x[i] >> r[i];
	} 
	
	stack<int> s;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		while (not s.empty()) {
			int j = s.top();
			r[i] = min(r[i], (x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j]) / 4 / r[j]);
			if (r[i] < r[j]) {
				break;
			} else {
				s.pop();
			}
		}
		s.push(i);
	}
	
	cout << fixed << setprecision(3);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cout << r[i] << "\n";
	}
	
	return 0;
}

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